1. Основа: пределы и последовательное приближение
Мы переходим от теоретической абстракции пределов к вычислительной реальности, согласно которой процессор не может приблизиться к нулю; он может приблизиться только к машинному эпсилону.
Функция $f$, определённая на множестве $X$, имеет предел $L$ в точке $x_0$, обозначаемый как $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, если для любого действительного числа $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что $|f(x) - L| < \varepsilon$ при всех $x \in X$ и $0 < |x - x_0| < \delta$.
Последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ имеет предел $x$, если для любого $\epsilon > 0$ существует положительное целое число $N(\epsilon)$ такое, что $|x_n - x| < \epsilon$ при всех $n > N(\epsilon)$. Это оправдывает наши итеративные алгоритмы.
2. Непрерывность и дифференцируемость: требования безопасности
В численных программах, непрерывность (определение 1.2) и дифференцируемость (определение 1.5) не являются просто академическими свойствами; они представляют собой «требования безопасности» для численной устойчивости. Теорема 1.6 доказывает, что если функция дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке, гарантируя, что небольшие ошибки измерений не приводят к катастрофическим скачкам выходных данных.